基础数学公式参考
目录
1 对数
1.1 基本定理
1.1.1 定理 1
\(\log_A B=\frac{\log_C B}{\log_C A}\)
1.1.2 定理 2
\(\log AB=\log A+\log B\)
1.1.3 定理 3
\(\log \frac{A}{B}=\log A-\log B\)
1.1.4 定理 4
\(\log A^B=B\log A\)
2 级数
2.1 等比级数
2.1.1 2 为公比的等比级数
\(\sum_{i=0}^n 2^i=2^{n+1}+1\)
2.1.2 通用公式
\(\sum_{i=0}^n A^i=\frac{A^{n+1}-1}{A-1}\)
2.2 收敛级数
if 0<A<1, then
\[\sum_{i=0}^n A^i\leq\frac{1}{1-A}\]
当 N 趋向于∞ 时，该和趋向于\(\frac{1}{1-A}\)
2.2.1 推导\(\sum_{i=0}^{\infty} A^i\space (0
\[S=1+A+A^2+A^3+\dots\]
\[AS=A+A^2+A^3+\dots\]
收敛于 1(极限概念)
\[S-AS=1\]
\[S=\frac{1}{1-A}\]
\[S=1+A+A^2+A^3+\dots\] \[AS=A+A^2+A^3+\dots\]
收敛于 1(极限概念)
\[S-AS=1\] \[S=\frac{1}{1-A}\]
2.3 算术级数(Arithmetic series)
- 等差级数 \[\sum_{i=1}^N i=\frac{N(N+1)}{2}\approx\frac{N^2}{2}\]
- \(\sum_{i=1}^N i^2\) \[\sum_{i=1}^N i^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\approx\frac{N^3}{3}\] \[\sum_{i=1}^N i^k\approx\frac{N^{k+1}}{|k+1|}\space k\neq-1\]
- 当 k=-1 时，以上等式不成立，需要用到下面的公式1： \[H_N=\sum_{i=1}{N}\frac{1}{i}\approx\log_e{N}\] \(H_N\) 叫作调和数，近似式中的误差趋向于\(\lambda\approx0.57721566\) ，称为欧拉常数(Eular's constant)。
2.4 最后，一般的代数运算级数
\[\sum_{i=1}{N} f(N)=Nf(N)\] \[\sum_{i=n_0}^N f(i)=\sum_{i=1}^N f(i)-\sum_{i=1}^{n_0-1} f(i)\]
3 数列
3.1 等差数列
3.1.1 通项式
\[a_n=a_1+(n-1)d\]
3.1.2 求和
\[S_n=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\]
3.2 等比数列
3.2.1 通项式
\[a_n=a_1q^{n-1}\]
3.2.2 求和
\[S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}条件：(q\neq1)\]
3.3 数列求和方法
3.3.1 错位相减法
- 适用情况：应用于等差与等比数列相乘的形式。
- 使用例子：求和\(\sum_{i=1}^n ia^i\)
\[a\sum_{i=1}^{n}{ia^i} - \sum_{i=1}^{n}{ia^i}=a\cdot{a^1}+a\cdot{2a^2}+\dots+a\cdot{na^n}-a^1-2a^2-3a^3-\dots-na^n\] \[=-(a^1+a^2+a^3+\dots+a^n)+na^{n+1}\]
4 模运算
4.1 定义
A 或者 B 被 N 整除，所得余数相同(即 N 整除 A-B)，则称 A 与 B 模同余 N。
记作： \(A\equiv{B}(mod\space{N})\)
例子： \(81\equiv{61}\equiv{1}(mod\space{10})\)
4.2 运算规则
同加法乘法:
\[A+C\equiv{B+C}(mod\space{N})\]
\[AD\equiv{BD}(mod\space{N})\]
5 三角函数
5.1 特殊值
| 三角函数 | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\frac{2\pi}{3}\) | \(\frac{3\pi}{4}\) | \(\frac{5\pi}{6}\) | \(\pi\) | \(\frac{3\pi}{4}\) |
| sin | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) | \(-1\) |
| cos | \(1\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(-\frac{\sqrt2}{2}\) | \(-\frac{\sqrt3}{2}\) | \(-1\) | \(0\) |
| tan | \(0\) | \(\frac{\sqrt3}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt3\) | \(+ \infty\) | \(-\sqrt3\) | \(-1\) | \(-\frac{\sqrt3}{3}\) | \(0\) | \(+ \infty\) |
| cot | \(+ \infty\) | \(\sqrt3\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt3}{3}\) | 0 | \(-\frac{\sqrt3}{3}\) | \(-1\) | \(-\sqrt3\) | \(+ \infty\) | \(0\) |
5.2 三角恒等式简易记法
最容易记的 \(sin^2\theta +cos^2\theta = 1\)
两边同除以 \(sin^2\theta\) 得到 \(1 + cot^2\theta = csc^2\theta\)
若同除以 \(cos^2\theta\) 得到 \(tan^2\theta + 1=sec^2\theta\)
脚注:
该公式在计算机科学中远比在其他科学中用的多